ESTADISTICA COMPLEJAThis is a featured page

ACTIVIDAD No 1

Enviar los trabajos al correo mariory.ferreira@unad.edu.co

TEORIA DE CONJUNTOS
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.

Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión.

Por extensión: Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

Por comprensión: Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. P = { los números dígitos } A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ Conjunto Universal: es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U.



INCLUSION: inclusion


Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B. disjuntos


conjuntos numericos




representacion conjuntos

1. Analiza porque el porqué de esa grafica, justifica la respuesta.


union de conjuntos





union


2. ¿Cómo queda representada la unión de los conjuntos dados en diagramas de ven y en llaves?

interseccion



uno

3. ¿Cómo se representa la intersección en diagramas de Venn y en llaves?

DIFERRENCIA DE CONJUNTOS


El conjunto “A menos B” que se representa A-B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

4. ¿Cómo representarías la diferencia de A-B en diagramas de Venn y en llaves? 5. ¿Cómo representarías la diferencia de A-B en diagramas de Venn y en llaves?

diferencia

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.


U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}


complemento



6. ¿Por qué esa es la representación de A´?


los tres conjuntos


OPERACIONES DE CONJUNTOS


7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x I x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra conjunto}

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}

d)D = {x I x es un número par}

e) E = {x I x < 15}

8. Dados los siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución en llaves.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }
A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 }
C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 }

E = { 12, 13, 14, 15 }



el problema













H= X: Lee historia L= X Lee literatura A= X Lee arte


Determinar el número de estudiantes que leen.

a) Historia. B) Solamente historia.

C) Historia, literatura y arte. D) Historia y arte.

e) Historia y arte pero no leen literatura.


F) Literatura o arte.


g) Ninguna.



UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESTADISTICA COMPLEJA



ACTIVIDAD No 2 TUTORA: MARIORY S. FERREIRA MOJICA

La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. Un fenómeno aleatorio, es por tanto,

aquél cuyo resultado está fuera de control y que depende del azar. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no,

dependiendo del azar. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento

aleatorio. En adelante lo designaremos por S. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se

le llama espacio muestra

l. En un dado, S={1,2,3,4,5,6} En una moneda, S={C,+} Un experimento aleatorio cumple con las

siguientes características: • El experimento puede realizarse bajo idénticas condiciones cuantas veces sea necesario. •

Los posibles resultados son todos conocidos. • El resultado del experimento es incierto, depende del azar. • Se observa

cierto patrón de regularidad a medida que aumentan las repeticiones. EJEMPLO. Sucesos o Eventos. El espacio muestral

asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: S =

{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} Podemos considerar algunos subconjuntos de S, por ejemplo: Salir múltiplo de 5: A

= {5,10,15} Salir número primo: C = {2,3,5,7,11,13,17} Salir mayor o igual que 12: D = {12,13,14,15,16,17,18} Suceso o Evento

de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de S se

llaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio

S, suceso seguro. Si S tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n. {1,2},{2,4,6},{3,5} son

sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. • En un dado hay 26 = 64sucesos

En una moneda hay 22 = 4 sucesos,

que son: Ø, {C},{+}, {C,+} Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}} Analiza el ejercicio El recorrido desde el principio del árbol hasta

los puntos terminales, indica quién ganó cada juego en el torneo individual de tenis. Observe que hay 10 puntos terminales

que corresponden a los 10 resultados posibles del torneo, ellos so
n: arbol


{ SS, SCSS, SCSCS, SCSCC, SCC, CSS, CSCSS, CSCSC, CSCC, CC. }


ACTIVIDAD No 2 1.- Proporcione una descripción razonable del espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios

. Utilice un diagrama de árbol

. a.- Lanzar tres veces una moneda y observar la serie de sellos o caras que aparecen

. b.- Tirar un dado, si el resultado es un numero par lanzar una moneda, si el resultado es un numero impar lanzar una moneda dos veces


. 2.- Se desea observar una familia que posee dos automóviles y para cada uno observamos si fue fabricado en Colombia, si

es Americano o si es Europeo. a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento? b.- Defina el evento A: Los dos

automoviles no son fabricados en Colombia, Liste el evento B: Un automovil es colombiano y el otro no. c.- Defina los

eventos AÈB y BÇA.

3- La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto en reserva, Dos ejemplares (1 y 2) son primera edición y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas ediciones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, y se detiene cuando selecciona una segunda impresion

. Ejemplos de resultados son: 5, 213. a.- haga una lista de los elementos de S b.- Liste los eventos A: el libro 5 es

seleccionado, B: exactamente un libro debe ser examinado, C: el libro 1 no es examinado c.- Encuentre: AÈB , BÇA., AÈC y

BÇC




ACTIVIDAD No 3.

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD TUTORA MARIORY. STELLA FERREIRA M.

mariory.ferreira@unad.edu.co

ESTADISTICA COMPLEJA ACTIVIDAD 3

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

Principio de multiplicación o multiplicativo

Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio. Suponga que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tiene dos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre. ¿De cuántas maneras puede el anfitrión hacer su menú? En la figura 5 se señalan todas las maneras posibles para preparar el almuerzo. Las alternativas que tendrá son:

{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7}

{2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7}

En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un delicioso almuerzo. Aplicando el principio de multiplicación se tiene: 2 x 3 x 2 = 12 Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n1 maneras diferentes, el producto: 1 2 3 ... n × n × n ×

FACTORIAL DE UN NÚMERO

En el análisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto de factorial de un entero no negativo n. Este se denota por el símbolo n! y se define como el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno Simbólicamente queda expresado como: n! = n(n-1)(n-2)…1 n £ 1 La excepción es el caso de 0! El cual conviene definirlo como igual a 1 con objeto de preservar la validez de las fórmulas en casos extremos. Muchas calculadoras traen una tecla factorial, verifique que la suya la tenga y practique.

PERMUTACIONES Y VARIACIONES

Considere un conjunto de elementos S = {a,b,c}. Una permutación de los elementos es un acomodo u ORDENAMIENTO de ellos. Así: abc acb bac bca cab cba

GRAFICA 1


GRAFICA 2

En las permutaciones si importa el orden.

COMBINACIONES

Suponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinación de ellos, tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos donde el orden no se tiene en cuenta. El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez, r £ n , sin tener en cuenta el orden, es:


GRAFICA 3


Sea el conjunto S = {a,b,c,d}, si se desea combinar los cuatro elementos a la vez, ¿cuántas combinaciones se podrán hacer? Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo cualquiera de ellas. Compruébelo usando la fórmula. • Si se desean combinar esas cuatro letras en subconjuntos de dos elementos, ¿cuántas combinaciones se podrán hacer? Las combinaciones posibles tomadas dos a la vez son: ab, ac, ad, bc, bd, cd Observe que el subconjunto compuesto de los elementos a y b puede ser {a, b} o {b, a}, pues en una combinación no se tiene en cuenta el orden. El número de posibles combinaciones es:


GRAFICA 4

Ej: En una asamblea de socios de una importante empresa del país, compuesta de 7 hombres y 5 mujeres, se acuerda conformar una comisión de verificación de actividades comerciales en la región. Esta comisión debe estar compuesta por 3 hombres y 2 mujeres. ¿De cuántas maneras puede escogerse dicha comisión?

GRAFICA 5


Por consiguiente, la comisión puede escogerse de 35 ×10 = 350 maneras diferentes. En las combinaciones no importa el orden

REGLA DEL EXPONENTE
Se trata de un tipo de combinación o arreglo ordenado en donde siempre hay reemplazo del elemento que se toma. Ej: ¿Cuántos casos posibles existen al lanzar una moneda en 5 lanzamientos? En el lanzamiento de una moneda se tienen dos posibilidades: cara o sello. El número de casos posibles estará dado por el número de posibilidades (2, en este caso) con exponente igual al número de lanzamientos:

GRAFICA 6


Definición de probabilidad según el concepto de frecuencia relativa o probabilidad frecuentista

GRAFICA 7



GRAFICA 8



GRAFICA 9




GRAFICA 10




GRAFICA 11

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Solución: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b.

Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,



GRAFICA 12



GRAFICA 13


DISTRIBUCION NORMAL Y USO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución:


GRAFICA 14


Z= dato – media Desviación estándar o típica Se observa en las tablas de distribución normal

APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media $ 500.000. y desviación típica $100.000 Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a $700.000 Solución: Lo primero que haremos es transformar esa distribución en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviación típica

GRAFICA 15



EJERCICIOS PARA ENTREGAR

1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina?

2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre?

3.- Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿qué libertad le queda a ese jugador?

4.-¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles.

5.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD?

6.- Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva: ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con estos seis dígitos? ¿Cuántos de estos son menores de 400? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos son impares? ¿Cuántos son múltiplos de cinco?

7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tarjeta, ¿cuál es el número de diseños diferentes posible?

8.- En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad?

9.- El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. ¿En cuántas formas diferentes puede planearse este recorrido si: Es importante el orden de las visitas? No importa el orden de las visitas?

10.- El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador.

11. De los viajeros que llegan al aeropuerto en Cartagena, 60% utilizan Avianca, 30% utiliza aviones comerciales de otras aerolíneas y el resto usa vuelos privados. De las personas que usan la primera opción 50% viaja por negocios, mientras que el 60% de los pasajeros de otras aerolíneas y el 90% de los que viajan en vuelos privados lo hacen por negocios. Suponga que se seleccionan al azar una persona que llega a ese aeropuerto: Si la persona viajo por negocios ¿Cuál es la probabilidad que haya utilizado Avianca? (por teorema de Bayes)

12. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes: a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años? (por distribución normal)


GRAFICA 16


GRAFICA 17


¿Cómo se lee esta tabla?

La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando. Queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 2,75. Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 2,7 y en la primera fila el valor 0,05. La casilla en la que se interceptan es su probabilidad acumulada (0,99702, es decir 99.7%). Veamos otros ejemplos: a.- Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486 b.- Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115






ESTUDIA CADA DIA CON ALEGRIA.




























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